Question

如图所示，已知抛物线的图象与y轴相交于点B(0，1)，点C(m，n)在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A．

(1)求k的值；

(2)求点C的坐标；

(3)若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：

①当S₁＜S＜S₂时，求t的取值范围(其中：S为△PAB的面积，S₁为△OAB的面积，S₂为四边形OACB的面积)；

②当t取何值时，点P在⊙M上．(写出t的值即可)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵点B(0，1)在的图象上，∴　　(2分) 　　∴k＝1　　(3分) 　　(2)由(1)知抛物线为： 　　 　　∴顶点A为(2，0)　　(4分) 　　∴OA＝2，OB＝1 　　过C(m，n)作CD⊥x轴于D，则CD＝n，OD＝m，∴AD＝m－2 　　由已知得∠BAC＝90°　　(5分) 　　∴∠CAD＋∠BAO＝90°，又∠BAO＋∠OBA＝90°∴∠OBA＝∠CAD 　　∴Rt△OAB∽Rt△DCA 　　∴(或tan∠OBA＝tan∠CAD)　(6分) 　　∴n＝2(m－2)； 　　又点C(m，n)在上，∴ 　　∴，即 　　∴m＝2或m＝10；当m＝2时，n＝0，当m＝10时，n＝16　　(7分) 　　∴符合条件的点C的坐标为(2，0)或(10，16)　　(8分) 　　(3)依题意得，点C(2，0)不符合条件，∴点C为(10，16) 　　此时 　　　　(9分) 　　又点P在函数图象的对称轴x＝2上，∴P(2，t)，AP＝|t| 　　∴＝|t|　　(10分) 　　∵ 　　∴当t≥0时，S＝t，∴1﹤t﹤21　　(11分) 　　∴当t﹤0时，S＝－t，∴－21﹤t﹤－1 　　∴t的取值范围是：1﹤t﹤21或－21﹤t﹤－1　　(12分) 　　t＝0，1，17　　(14分)