Question

若(c－a)²－4(a－b)(b－c)＝0，求证：2b＝c＋a．

Answer 1

答案：
解析：

证明：当a－b＝0时，由已知等式可得a＝b＝c，于是2b＝c＋a； 　　当a－b≠0时，构造关于x的一元二次方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0， 　　∵(a－b)＋(c－a)＋(b－c)＝0， 　　∴1是方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0的一个根， 　　∵△＝(c－a)2－4(a－b)(b－c)＝0， 　　∴方程(a－b)x2＋(c－a)x＋(b－c)＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝1， 　　∴x1·x2＝＝1， 　　∴2b＝c＋a． 　　分析：此题证法较多，若注意到已知等式的结构特点，联想到它是关于x的某个一元二次方程的根的判别式为零的情形，采取构造方程的方法解决起来更为直观、简明． 　　点评：利用根的判别式构造一元二次方程，由根的特殊性和根与系数关系，使问题巧妙得证．