Question

已知：如图，在△ABC中，D为AB边上一点，∠A=36°，AC=BC，
（1）求∠ACB的度数．
（2）若AC²=AB•AD，求证：△ABC∽△ACD
（3）在（2）的条件下，若AB=1，能否求出AC的值；如果能，请求出AC的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠A=36°，AC=BC，
∴∠B=∠A=36°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠C=180°-36°-36°=108°；

（2）∵AC²=AB•AD，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；

（3）∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD=∠B=36°，
∴∠BCD=∠A+∠ACD=72°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=108°-36°=72°，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BD=BC，
∵AC=BC，
∴AC=BC=BD，
设AC=x，
则BC=BD=x，AD=1-x，
∵AC²=AB•AD，
∴x²=1-x，
解得：x=或x=（舍去），
∴AC的值为．
分析：（1）由∠A=36°，AC=BC，根据等边对等角的性质，即可求得∠B的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求得∠ACB的度数；
（2）由AC²=AB•AD，可得，又由∠A是公共角，即可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ABC∽△ACD；
（3）由（2）易求得∠BCD=∠BDC=72°，即可得BD=BC，然后设AC=x，利用AC²=AB•AD，即可列方程，解方程即可求得AC的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．