Question

如图，以△AOD的三边为边，在AD的同侧作三个等边三角形△AED、△BOD、△AOF，请回答下列问题并说明理由：
（1）四边形OBEF是什么四边形？
（2）当△AOD满足什么条件时，四边形OBEF是菱形？是矩形？
（3）当△AOD满足什么条件时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

解：（1）平行四边形；
∵△AED和△OBD都是等边三角形，
∴∠ADE=∠ODB=60°，AD=ED OD=BD，
∴∠ADE-∠ODE=∠ODB-∠ODE 即∠ADO=∠EDB，
∴△ADO≌△EDB．
∴AO=EB，
∵△AOF是等边三角形，AO=FO，
∴FO=EB
同理：BO=FE
∴四边形OBEF是平行四边形
（2）当OA=OD时，四边形OBEF为菱形，
当∠AOD=150°时，四边形OBEF为矩形；
（3）当∠AOD=60°时，以O、B、E、F为顶点的四边形不存在．
分析：（1）通过三角形全等和线段的等量代换可判断是平行四边形．
（2）当△AOD中OA=OD和当∠AOD=150°设满足条件．
（3）当∠AOD=60°时以O、B、E、F为顶点的四边形不存在．
点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和菱形的判定等知识点．