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    我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

    (1)  把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明

    (见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．

    (2)  图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．

    要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

    解：在表格中作答

    分割图形

          分割或图形说明

    示例

    示例①分割成两个菱形。

    ②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。

    （2）

    分析：（1）方案一：分割成两个等腰梯形；

    方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；

    （2）利用平行四边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理作答，认真计算即可．

    解：（1）在表格中作答：

    分割图形

          分割或图形说明

    示例：

    示例：

    ①分割成两个菱形．

    ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．

    ①分割成两两个等腰梯形．

    ②两个等腰梯形的腰长都为a，

    上底长都为，下底长都为a，

    上底角都为120°，下底角都为60°．

    ①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形．

    ②等边三角形的边长为a，

    等腰三角形的腰长为a，顶角为120°．

    直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、a、2a．

    （2） 如右图①，连接BD，取AB中点E，连接DE．

    ∵AB=2a，E为AB中点，

    ∴AE=BE=a，

    ∵AD=AE=a，∠A=60°，

    ∴△ADE为等边三角形，∠ADE=∠DEA=60°，DE=AE=a，

    又∵∠BED+∠DEA=180°，

    ∴∠BED=180°﹣∠DEA=180°﹣60°=120°，

    又∵DE=BE=a，∠BED=120°，

    ∴∠BDE=∠DBE=（180°﹣120°）=30°，

    ∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°+30°=90°

    ∴Rt△ADB中，∠ADB=90°，

    由勾股定理得：BD2+AD2=AB2，即BD2+a2=（2a）2，

    解得BD=a．

    如右图②所示，AC=2OC=2=2=2•a=a．

    ∴BD=a，AC=a．

    点评：本题是几何综合题，考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力；第（2）问侧重考查了几何计算能力．本题考查知识点全面，对学生的几何综合能力要求较高，是一道好题

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    分割图形       分割或图形说明
    示例：
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    ①分割成两个菱形．
    ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．
    （2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

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    要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．

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    要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．

    解：在表格中作答

    分割图形

          分割或图形说明

    示例

    示例①分割成两个菱形。

    ②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。

     

     

     

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