Question

如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：AB²=AC²+AC•BC．

Answer 1

分析：延长AC至D，使CD=BC，连接BD，根据等腰三角形底角相等的性质可证∠D=∠ABC，可证△ABC∽△ADB，得

AB

AC

=

AD

AB

化简得AB²=AC²+AC•CD，即可解题．

解答：证明：延长AC至D，使CD=BC，连接BD，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=2∠ABC，∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠D=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
即AB²=AC•AD=AC（AC+CD）=AC²+AC•BC．

点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中求证△ABC∽△ADB是解题的关键．