Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D。
求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC；
（3）BC²=2AB·CE。

Answer 1

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD是底边BC上的高，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中点；
（2）∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，
∴∠CBE=∠CAD；
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BEC∽△ADC；
（3）由△BEC∽△ADC，知，
即CD·BC=AC·CE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BC，
又∵AB=AC，
∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE，
即BC²=2AB·CE。