Question

如图，已知△BEC 是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC、BD的交点为O。
（1）求证：△AEC≌△DEB；  
（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2cm ，求图中阴影部分的面积。

Answer 1

解：（1）∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+ ∠BEC=∠DEC+∠BEC，
即∠AEC=∠DEB，
∵△BEC是等边三角形，
∴CE=BE，
又AE=DE，
∴△AEC≌△DEB；
（2）连结EO并延长EO交BC于点F，连结AD，
由（1），知AC=BD，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABC+∠DCB=180°，AB∥DC，
AB==CD，
∴四边形ABCD为平行四边形且矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵BE=CE，
∴OE所在直线垂直平分线段BC，
∴BF=FC，∠EFB=90°，
∴OF=AB=×2=1，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠EBC=60°，
在Rt△AEB中，
∠AEB=90°，∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=AB·cos30°=2×，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，
∴BF=BE·cos60°=，
EF=BE·sin60°=，
∴OE=EF-OF=，
∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，
∴△AOE≌△DOE，
∴S _△AOE=S_△DOE，
∴S=2S△AOE =2×·EO·BF=2×（cm²）。