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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕点O逆时针方向旋转90°，使OB’落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′的对应点是A，点B’的对应点是B．
    （1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
    （2）如图2，将△A0B沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．
    ①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积；
    ②是否存在这样的点使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
    ③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函精英家教网数关系式（包括自变量x的取值范围）．
    分析：（1）根据旋转的性质可知：A′的横坐标实际是A点的纵坐标，A′的纵坐标的绝对值实际是A点横坐标，由此可得出A点的坐标，同理可求出B点的坐标．已知了A、B的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
    （2）①当E点与O重合时，不难得出△EDB的面积＞
    1
    2
    △AOB的面积，因此当线段DE平分△AOB的面积时，E在O点右侧．可用x表示出BC，CD的值，进而可得求出△BDE的面积，然后根据其面积为△AOB面积的一半可得出一个关于x的方程，据此可求出x的值．
    ②本题要分情况进行讨论：
    一：当∠ADE=90°时，∠EDB=90°，显然不成立；
    二：当∠EAD=90°时，E，O重合，那么BE=BO，据此可求出x的值；
    三：当∠AED=90°时，可过A作x轴的垂线，通过构建相似三角形来求出x的值．
    ③本题要分情况进行讨论：
    一：当
    5
    2
    ≤x＜5时，E在△AOB内，重合部分的面积就是△CDE的面积；
    二：2≤x＜
    5
    2
    时，E在△AOB外部，重合部分是个不规则的四边形，设DE与OA交于P，那么重合部分的面积可用△CDE的面积减去△EOP的面积来求得．
    综上所述，即可求出不同x的取值范围内S，x的函数关系式．
    解答：解：（1）A（1，2），B（5，0），
    设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：
    k+b=2
    5k+b=0
    ，
    解得：
    k=-
    1
    2
    b=
    5
    2
    ，
    ∴直线AB的解析式为y=-
    1
    2
    x+
    5
    2
    ．

    （2）①当x=
    5
    2
    时，CD=y=
    5-x
    2
    =
    5
    4
    ，S△DEB=
    1
    2
    ×5×
    5
    4
    =
    25
    8
    ＞3，
    ∴点E在O的右边．
    由题意，得：S△DEB=
    1
    2
    ×2（5-x）×
    5-x
    2
    =
    5
    2
    ，x=5+
    		5
    （舍去），
    ∴x=5-
    		5
    ．精英家教网
    ②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
    当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x=
    5
    2
    ．
    当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
    ∴OE=2．
    ∴2+2（5-x）=5，x=
    7
    2
    ．

    ③当
    5
    2
    ≤x＜5时，S=
    1
    2
    ×（5-x）×
    5-x
    2
    =
    1
    4
    （x-5）2；精英家教网
    当2≤x＜
    5
    2
    时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM=
    h
    2
    ，EM=2h，OE=5-2x．
    ∴5-2x+
    h
    2
    =2h，h=
    2
    3
    （5-2x），
    ∴S=
    1
    2
    ×（5-x）×
    5-x
    2
    -
    1
    2
    ×（5-2x）×
    2
    3
    （5-2x）=-
    13
    12
    x2+
    25
    6
    x-
    25
    12
    ．
    点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的翻折变换、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E在斜边BC上，CE=CA，求证：∠BAE=
    12
    ∠ACB．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）操作：如图1，在线段AB所在的直线上取一点O（O点在线段外），将线段AB绕点O旋转一周，所得到的图形是个圆环（如图2），此圆环的面积就是线段AB所扫过的面积，已知AB=2，OA=1，则线段AB扫过的面积为
     
    ．
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    （2）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，若将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为
     
    ，面积为
     
    ．
    （3）若将图3中的Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是什么？面积为多少？
    （结果中保留π）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
    （1）求AA1的长；
    （2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
     
    ；
    （3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
     
    ；
    （4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1和图2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网格的底部重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．
    （1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格图中画出：
    ①Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
    ②Rt△A1B1C1关于点O成中心对称的图形．
    （2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
    （1）尝试证明：
    等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=
    12
    AB    ，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
    （2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
    ①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
    ②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

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