Question

如图，在?ABCD中，P₁、P₂、P₃…P_n-1是BD的n等分点，连接AP₂，并延长交BC于点E，连接AP_n-2并延长交CD于点F．
（1）求证：EF∥BD；
（2）设?ABCD的面积是S，若S_△AEF=

3

8

S，求n的值．

Answer 1

分析：①根据AD∥BC，AB∥DC，证明△P_n-2FD∽△P_n-2AB，△P₂BE∽△P₂DA，利用其相似比可得

APn-2

Pn-2F

=

AP2

P2F

，然后即可证明．
②由①可知

DF

AB

=

2

n-2

，同理可证S△ABE=

1

n-2

S，从而知S△ECF=

1

2

(

n-4

n-2

)2S，然后解

3

8

S=S-2×

1

n-2

S-

1

2

(

n-4

n-2

)2S，此方程即可．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，AB∥DC，
∴△P_n-2FD∽△P_n-2AB，△P₂BE∽△P₂DA
∴

APn-2

Pn-2F

=

BPn-2

Pn-2D

=

n-2

2

，

AP2

P2E

=

DP2

P2B

=

n-2

2

即

APn-2

Pn-2F

=

AP2

P2E

，
∴EF∥BD．

（2）解：由①可知

DF

AB

=

2

n-2

，
∴S△AFD=

1

n-2

S，
同理可证S△ABE=

1

n-2

S
∴

DF

DC

=

2

n-2

，
∴

FC

DC

=

DC-DF

DC

=1-

DF

DC

=

n-4

n-2

，
从而知S△ECF=

1

2

(

n-4

n-2

)2S，
已知S△AEF=

3

8

S，
∴

3

8

S=S-2×

1

n-2

S-

1

2

(

n-4

n-2

)2S，
即1-

2

n-2

-

(n-4)2

2(n-2)2

=

3

8

解方程得n=6．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的难点是得出

3

8

S=S-2×

1

n-2

S-

1

2

(

n-4

n-2

)2S，此关系式，因此此题有一定难度，属于中档题．