Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形OABC的边OA在x轴上，∠B=60°，OA=6，OC=4，D是BC的中点，延长AD交OC的延长线于点E。
（1）画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E₁CD，并求出点E₁的坐标；
（2）求经过C、E₁、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）请探求经过C、E₁、B三点的抛物线上是否存在点P，使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似？若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在这样的点P，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点E作EE1⊥CD交BC于F点，交x轴于E1点，则E1点为E的对称点， 连接DE1、CE1，则△CE1D为所画的三角形， ∵△CED∽△OEA，， ∴， ∵EF、EE分别是△CED、△OEA的对应高， ∴=， ∴EF=EE1， ∴F是EE1的中点， ∴E点关于CD的对称点是E1点，△CE1D为△CED关于CD的对称图形， 在Rt△EOE1，OE1=cos60°×EO=×8=4， ∴E1点的坐标为（4，0）； （2）∵平行四边形OABC的高为h=sin60°×4=2， 过C作CG⊥OA于G，则OG=2， ∴C、B点的坐标分别为（2，2），（8，2）， ∵抛物线过C、B两点，且CB∥x轴，C、B两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴方程为x=5， 又∵抛物线经过E1（4，0）， 则抛物线与x轴的另一个交点为A（6，0）， ∴可设抛物线为y=a（x﹣4）（x﹣6）， ∵点C（2，2）在抛物线上， ∴2=a（2﹣4）（2﹣6）， 解得a=， ∴y=（x﹣4）（x﹣6）=x2﹣x+6； （3）根据两个三角形相似的条件，由于在△ECD中，∠ECD=60°， 若△BCP与△ECD相似，则△BCP中必有一个角为60°，下面进行分类讨论： ①当P点直线CB的上方时，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°， ∴△PCB为钝角三角形， 又∵△ECD为锐角三角形， ∴△ECD与△CPB不相似， 从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似； ②当P点在直线CB上时，点P与C点或B点重合，不能构成三角形， ∴在直线CB上不存在满足条件的P点； ③当P点在直线CB的下方时，若∠BCP=60°，则P点与E1点重合，此时，∠ECD=∠BCE1， 而，∴， ∴△BCE与△ECD不相似， 若∠CBP=60°，则P点与A点重合，根据抛物线的对称性，同理可证△BCA与△CED不相似， 若∠CPB=60°，假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似， ∴EF=sin60°×4=2，FD=1， ∴ED==， 设△ECD的边DE上的高为h1，则有h1×ED=EF×CD， ∴h1=EF×CD×ED=2×3÷=6×=， 设△CPB的边BC上的高为h2，△CPB与△ECD相似， ∵， 解得h2=×h1=×=， ∵抛物线的顶点坐标为（5，﹣）， ∴抛物线的顶点到直线BC的距离d=|﹣|+2=， ∵h2＞d， ∴所求P点到直线BC的距离大于抛物线的顶点到直线BC的距离， 从而使△CPB与△ECD相似的点P不会在抛物线上， ∴在直线CB下方不存在抛物线上的点P使△CPB与△ECD相似， 综上所述，可知在抛物线上不存在点P使点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似。