Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点 P（t，0）在x轴上。
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时，
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值。

Answer 1

解：（1）∵OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，且AB=OC=4， ∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴， ∴A，B的横坐标分别是2和-2，代入y=+1得，A（2，2），B（-2，2）， ∴M（0，2）； （2）①过点Q作QH^x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t， 由△HQP∽△OMC，得：，即：t=x-2y， ∵Q（x，y）在y=+1上， ∴t=-+x-2， 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±， 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2， ∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数； ②分两种情况讨论： 1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上， ∵CM∥PQ，CM=2PQ， ∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0， ∴t=-+0-2=-2， 2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上， ∵CM∥PQ，CM=PQ， ∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2×2，解得：x=±， 当x=-时，得t=-2=-8-， 当x=时，得t=-8。