Question

如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE⊥x轴交⊙O于点E，过点E作EG⊥y轴于G，过点C作CF⊥y轴于F，连接DE．
（1）填空：∠CPB=______°；
（2）试探究：在P点运动过程中，PD²+PC²的值是否会发生变化？若变化，请说明理由；如果不变化，请求出这个值；
（3）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为4时，请你求出CD的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出∠CPB的度数即可；
（2）根据PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，得出PD²+PC²=32即可；
（3）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可．
解答：（1）解：过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，
当x=0，y=m，当y=0，x=-m，
故QO=PO，
则∠CPB=45°；
故答案为：45；

（2）不变，
证明：如图1，连接PE，EO，DO，
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴，
∴DO⊥EO，
∴，
∴PD²+PC²=32；

（3）解：当点P在直径AB上时，
S_△PDE=PD×PE=PD×PC=4，
故PD×PC=8，
又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，
∴CD=4，
当点P在AB延长线上，如图2，
同理可得：
CD²=（PD-PC）²=32-16=16，
解得CD=4．
综上所述，CD的长为或4．
点评：此题主要考查了圆的综合题，三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．