Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
（1）求证：FD²=FB·FC；
（2）若G是BC的中点，连结GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。

Answer 1

证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点，
∴DE=EA，∴∠A=∠2，
∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+ ∠A，
∴∠FDC=∠FBD
∵∠F是公共角，
∴△FBD∽△FDC，
∴FD²=FB·FC；
解：（2）GD⊥EF，
理由如下：∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，
∴DG=GC，∴∠3=∠4，
由（1）得∠4=∠1，∴∠3=∠1，
∵∠3+∠5=90°，∴∠5+∠1=90°，
∴DG⊥EF。