Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．

(1)求∠APB的度数；

(2)当OA＝3时，求AP的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)可以在四边形OAPB中利用“四边形的内角和等于360°”求解，也可以在△ABP中求解，主要是利用切线的性质和切线长定理；(2)连接OP或过点O作OD⊥AB，构造直角三角形来求解． 　　解：(1)方法一： 　　在△ABO中，因为OA＝OB，∠OAB＝30°，所以∠AOB＝180°－2×30°＝120°． 　　因为PA、PB是⊙O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°． 　　所以在四边形OAPB中，∠APB＝360°－120°－90°－90°＝60°． 　　方法二：因为PA、PB是⊙O的切线，所以PA＝PB，OA⊥PA． 　　因为∠OAB＝30°，所以∠BAP＝∠OAP－∠OAB＝90°－30°＝60°． 　　所以△ABP是等边三角形． 　　所以∠APB＝60°． 　　(2)方法一：如图，连接OP． 　　因为PA、PB是⊙O的切线，所以PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°． 　　在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°，所以AP＝3． 　　方法二：如图，过点O作OD⊥AB于点D． 　　因为在△OAB中，OA＝OB，所以AD＝AB． 　　在Rt△AOD中，OA＝3，∠OAD＝30°，所以AD＝OAcos30°＝3×＝． 　　由(1)知，△APB是等边三角形，所以AP＝AB＝2AD＝3． 　　点评：圆的切线的性质不仅表现在圆的切线长定理的两个结论上，而且表现在它与等腰三角形、垂径定理、相似三角形等知识相联系而形成的基本图形所得出的许多重要性质．