Question

如图所示，将直角△ABC绕点C逆时针旋转90°至A₁B₁C的位置，已知AB=10，BC=6，M是A₁B₁的中点，则AM的值为

1. A.
   6
2. B.
   8
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：取B₁C的中点N，连MN，先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC===8，再根据旋转的性质得到CB₁=CB=6，CA₁=CA=8，易得MN为△A₁B₁C的中位线，CN=CB₁=3，根据中位线的性质得到MN=CA₁=×8=4，MN∥CA₁，则MN⊥CB₁，而CN=CB₁=3，则AN=AC-CN=8-3=5，然后在Rt△AMN中，根据勾股定理即可计算出AM．
解答：取B₁C的中点N，连MN，如图，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，
∴AC===8，
∵直角△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A₁B₁C，
∴CB₁=CB=6，CA₁=CA=8，
∵M是A₁B₁的中点，B₁C的中点为N，
∴MN为△A₁B₁C的中位线，CN=CB₁=3，
∴MN=CA₁=×8=4，MN∥CA₁，
∴MN⊥CB₁，
而AN=AC-CN=8-3=5，
在Rt△AMN中，AM²=MN²+AN²，
∴AM==．
故选C．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理以及三角形中位线的性质．