Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．

(1)求证：BC＝CD；

(2)求证：∠ADE＝∠ABD；

(3)设AD＝2，AE＝1，求⊙O的直径长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)连接OD． 　　因为∠ABC＝90°， 　　所以∠ABD＋∠DBC＝90°． 　　又因为CD切⊙O于点D， 　　所以∠ODB＋∠BDC＝90°． 　　因为OB＝OD， 　　所以∠ODB＝∠OBD． 　　所以∠CDB＝∠CBD． 　　所以CD＝BC． 　　(2)因为BE是⊙O的直径， 　　所以∠BDE＝90°． 　　所以∠ADE＋∠CDB＝90°． 　　又因为∠ABC＝90°， 　　所以∠ABD＋∠CBD＝90°． 　　由(1)得BC＝CD， 　　所以∠CDB＝∠CBD． 　　所以∠ADE＝∠ABD； 　　(3)由(2)得∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A． 　　所以△ADE∽△ABD． 　　所以＝． 　　所以＝． 　　所以BE＝3． 　　所以所求⊙O的直径长为3．