Question

如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠BDC=∠ABD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OF∥AD分别交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，∴∠ABD=60°．
∴∠BDC=∠ABD=30°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∴∠ODB=60°．
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°．
即OD⊥DC．
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OF∥AD，∠ADB=90°，
∴OF⊥BD，∠BOE=∠A=30°．
∴DE=BE=BD=1．
在Rt△OEB中，OB=2BE=2，．
∵OD=OB=2，∠C=∠ABD-∠BDC=30°，∠DOF=30°，
∴CD=2，DF=OD•tan30°=．
∴CF=CD-DF=2-=．
分析：（1）连接OD，由已知条件和等边三角形的判定和等边三角形的性质即可证明OD⊥DC，进而证明CD是⊙O的切线；
（2）利用平行线的性质和直角三角形的性质可以先求出DE=1，再利用勾股定理和锐角三角函数即可求出OE的长和CF的长．
点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．