Question

如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是

 

．

Answer 1

分析：连接CO，做∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，则∠CAB=∠CBA=50°，∠CAD=∠OAD=20°，∠DAB=30°=∠DBA，
所以AD=BD，∠ADB=120°，可证△ACD≌△BCD，∠CDA=∠CDB=120°，又可证△ACD≌△AOD，则AO=AC=5．

解答：解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，
∵AC=BC=5，
∴∠CAB=∠CBA=50°，
∵∠OAB=10°，
∴∠CAD=∠OAD=

1

2

(∠CAB-∠OAB)=

1

2

(50°-10°)=20°，
∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，
∴∠DAB=30°=∠DBA，
∴AD=BD，∠ADB=120°，
在△ACD与△BCD中

AC=BC AD=BD CD=CD

?△ACD≌△BCD?∠CDA=∠CDB，
∴∠CDA=∠CDB=

1

2

(360°-∠ADB)=

1

2

(360°-120°)=120°，
在△ACD与△AOD中

∠CDA=120°=∠ADO AD=AD ∠CAD=∠OAD

?△ACD≌△AOD?AO=AC，
∴AO=5．
故答案为5．

点评：本题考查全等三角形的判定与性质．本题思路点拨△OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．