Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图①，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE；如图②，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF、DE.

（1）在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数；

（2）请探究在旋转过程中，四边形ADEF能形成那些特殊四边形？请说明理由.

Answer 1

24．

解：（1）在图①中，∵∠BAC=90°，∠B=30°，

∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．

在旋转过程中，分两种情况：

①当点E和点D在直线AC两侧时，如图2，

∵∠ACE=150°，

∴α=150°﹣120°=30°；

②当点E和点D在直线AC的同侧时，如备用图，

∵∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B=60°，

∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACB=150°﹣60°=90°，

∴α=180°﹣∠DCE=90°．

∴旋转角α为30°或90°；

（2）四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．

∵∠BAC=90°，∠B=30°，，

又AD是BC边上的中线，∴AD=CD=BC=AC，

∴△ADC为正三角形．

①当α=60°时，∠ACE=120°+60°=180°，

∵CA=CE=CD=CF，∴四边形ADEF为平行四边形，

又∵AE=DF，∴四边形ADEF为矩形，

②当α≠60°时，∠ACF≠120°，∠DCE=360°﹣60°﹣60°﹣∠ACF≠120°，

显然DE≠AF，

∵AC=CF，CD=CE

∵2∠FAC+∠ACF=180°，2∠CDE+∠DCE=180°∠ACF+∠DCE=360°﹣60°﹣60°=240°，

∴2∠FAC+2∠CDE=120°，

∴∠FAC+∠CDE=60°，

∵∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°

∴AF∥DE．

∴四边形ADEF为等腰梯形．