Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△BCD沿对角线BD折叠后，点C刚好落在AB边上的点E处．
（1）试判断四边形BCDE的形状，并说明理由；
（2）若AE=2，∠A=60°，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

解：（1）四边形BCDE是菱形．理由如下： ∵△BCD沿对角线BD折叠后， 点C刚好落在AB边上的点E处， ∴△BCD与△BED重合， ∴DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD， 又∵AB∥CD， ∴∠CDB=∠EBD， ∴∠CBD=∠CDB， ∴DC=BC， ∴DC=DE=BC=BE， ∴四边形BCDE是菱形； （2）过点D作DF⊥AB于F， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD， ∴∠A=∠ABC=60°，∠A+∠ADC=180°， ∴∠ADC=120°， 又∵四边形BCDE是菱形， ∴∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2， ∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDC=120°﹣60°=60°， ∴∠A=∠ADC=60°， ∴DE=AE=AD=2，即△ADE是等边三角形， 又∵DF⊥AB  AE=2， ∴AF=1， 在Rt△ADF中，DF=， 又∵DC=2，AB=4， ∴S梯形ABCD=（DC+AB）×DF=（2+4）×=3．