Question

如图，凸n边形A₁A₂…A_n中，各边都相等，且各内角也相等．

求证：点A₁、A₂、…A_n在同一个圆周上．

Answer 1

答案：
解析：

证明：A1、A2、A3是不共线的三点，假设⊙O经过点A1、A2、A3．连接OA1、OA2、OA3，OA4． 　　∴OA1＝OA2＝OA3． 　　又A1A2＝A2A3∴△OA2A3≌OA1A2． 　　∴∠OA3A2＝∠OA2A3＝∠OA2A1． 　　又∠A4A3A2＝∠A3A2A1 　　∴∠A4A2O＝∠OA3A2． 　　又OA3＝OA3，A2A3＝A3A4 　　∴△OA3A2≌△OA3A4． 　　∴OA4＝OA3． 　　∴点A4在⊙O上． 　　同理可证A5、A6…An在⊙O上． 　　∴点A1、A2、…An在同一圆周上． 　　思路点拨：要证这n个点在同一圆周上，不妨先设由A1、A2、A3不共线的三点先确定一个圆，再证明剩余的点都在其上，实际上也只需证A4在其上就行，其余同理依次可证． 　　评注：这题入手较难，但仔细体会不妨将原题分解成两个层次，再逐一解决．这种分析问题的思想值得同学们思考．