Question

如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ADC=∠CEB=90°

（1）连接DE、M、N分别是AC、BC上一点，且∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED，探索DM、DE、EN之间的数量关系，并说明理由．
（2）延长AD、BE交于F点，连接DE，CG⊥DE于G点，连接CF，CF与DE相交于O点，OC=OE，延长GC到H点，使得CH=CF，探索BF、BH的关系，并说明理由．

Answer 1

（1）解：DM+EN=DE，理由是： ∵等腰直角△ADC和△BEC， ∴∠DCA=45°，∠BCE=45°， ∴∠DCE=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴∠CDE+∠CED=180°﹣90°， ∵∠MDC=∠CDE，∠NEC=∠CED， ∴∠MDC+∠CDE+∠DEC+∠NEC=2×90°=180°， ∴DM∥EN， 取DE的中点Q，连接CQ， ∵∠DCE=90°， ∴CQ=QE=DQ， ∴∠QCE=∠QEC=∠NEC， ∴CQ∥EN，同理CQ∥DM，即DM∥CQ∥EN， ∵Q是DE的中点， ∴MC=CN， ∴CQ=（DM+EN）， ∵CQ=QD=QE=DE， ∴DM+EN=DE； （2）解：BF=BH，BF⊥BH，理由是： 由（1）证得：∠DCE=90°， ∵∠DCE=90°，CG⊥DE， ∴∠DCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠GEC=90°， ∴∠DCG=∠GEC， ∵CO=OE， ∴∠GEC=∠ECO， ∴∠GCD=∠ECO， ∵的三角形△ACD和△BEC， ∴∠DCA=∠ECB=45°， ∴∠GCD+∠DCA=∠OCE+∠ECB，即∠GCA=∠FCB， ∵∠GCA=∠BCH， ∴∠BCH=∠FCB， 在△FBC和△HBC中， ∴△FBC≌△HBC， ∴BF=BH，∠FBC=∠HBC=45°， ∴∠FBH=45°+45°=90°， ∴FB⊥BH．