Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H， ∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2， ∴OB=4，OA=2； 由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2， ∴∠COH=60°，OH=，CH=3， ∴C点坐标为（，3）； （2）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（，3）、 A（2，0）两点， ∴，解得：； ∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2x； （3）存在． 因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为（，3），即为点C， MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t； ∵∠BOA=30°， ∴ON=t， ∴P（t，t）； 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E， 把x=t代入y=﹣x2+2x，得y=﹣3t2+6t， ∴M（t，﹣3t2+6t），E（，﹣3t2+6t）， 同理：Q（，t），D（，1）； 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD， 即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，解得：t=，t=1（舍）， ∴P点坐标为（，）， ∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形， 此时P点坐标为（，）．