Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒。
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值。

Answer 1

解：（1）如图①，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形， ∴PM=DC=12， ∵QB=16-t， ∴S=×12×（16-t）=96-6t（0≤t≤16）； （2）由图①可知：CM=PD=2t，CQ=t， 若以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122， 由PQ2=BQ2，得t2+122=（16-t）2，解得； ②若BP=BQ，在Rt△PMB中，BP2=（16-2t）2+122， 由BP2=BQ2，得（16-2t）2+122=（16-t）2，即3t2-32t+144=0， ∵Δ=-704<0， ∴3t2-32t+144=0无解， ∴BP≠BQ； ③若PB=PQ，由PB2=PQ2，得（16-2t）2+122=t2+122， 整理，得3t2-64t+256=0， 解得，，t2=16（不合题意，舍去）， 综合上面的讨论可知：当或时， 以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形； （3）如图②，由△OAP∽△OBQ得， ∵AP=2t-21，BQ=16-t， ∴2（2t-21）=16-t， ∴， 过点Q作QE⊥AD，垂足为E， ∵PD=2t，ED=QC=t， ∴PE=t，在Rt△PEQ中， ∵∠BQP=∠QPE， ∴∠BQP的正切值为。