Question

如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，∠OCD=∠D=90°，AO=OC=10cm，CD=6cm．
（1）请求出点A的坐标．
（2）如图2，动点P、Q以每秒1cm的速度分别从点O和点C同时出发，点P沿OA、AD、DC运动到点C停止，点Q沿CO运动到点O停止．设P、Q同时出发t秒．
①是否存在某个时间t（秒），使得△OPQ为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
②若记△POQ的面积为y（cm²），求y（cm²）关于t（秒）的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）做AE⊥OC，根据平行线的性质推出OM的长度，然后运用勾股定理即可推出MA的长度，即可推出A点的坐标；
（2）①作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA到y轴，设与y轴交于点M，通过求证△OMA∽△NAO，推出AN=cm，ON=cm，再分情况进行讨论．若∠OPQ=90°，则△OPQ为直角三角形，由PQ∥AN，推出，即可求出t=；若∠OQP=90°，则△OPQ为直角三角形，通过求证∠AON∽△QOP，推出，即可求出t=cm，所以当t=cm或者t=cm时，△OPQ为直角三角形；
②作QH⊥OA，把OP视作底边，由QH∥AN，推出，再由OQ=10-t，AN=，ON=，推出高QH的长度，然后根据OP=t，即可推出S=（0＜t＜10）．
解答：解：（1）如图1，作AE⊥OC于E．
∴AE∥CD，
∵∠OCD=∠D=90°，
∴AD∥OC，
∵CD=6cm，
∴AE=DC=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，
∴A（8，6）；

（2）作AN⊥OA，设与OC的延长线交于N点，延长DA，与y轴交于点M．
①如图2，
∵AD∥OC，
∴AM⊥OM，
∴DM∥OC，
∵A（8，6），
∴AM=8cm，OM=CD=6cm，
∴∠AON=∠MAO，
∵∠AMO=∠OAN=90°，
∴△OMA∽△NAO，
∴，
∵OM=6cm，AM=8cm，OA=10cm，
∴AN=cm，ON=cm，
如图，若∠OPQ=90°，则△OPQ为直角三角形，
∴PQ∥AN，
∴，
∵P，Q两点的运动时间为t秒，OC=OA=10cm，
∴，
∴t=，
如图，若∠OQP=90°，则△OPQ为直角三角形，
∵∠AON=∠QOP，
∴∠AON∽△QOP，
∴，
∴，
∴t=cm，
∴当t=cm或者t=cm时，△OPQ为直角三角形；

②如图3，作QH⊥OA于H．
∵AN⊥OA，
∴QH∥AN，
∴，
∵OQ=10-t，AN=，ON=，
∴QH=cm，
∵OP=t，
∴S_△OPQ=，
∴S=（0＜t＜10）．
点评：本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理，点的坐标，相似三角形的判定及性质，关键在于根据题意画出辅助线，构建直角三角形，运用数形结合的思想推出相关的三角形相似，求出相关线段的长度，正确的进行分析．