Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB＝3，tan∠AOB＝，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA₁B₁；再将△OA₁B₁绕着线段OB₁的中点旋转180°，得到△OA₂B₁，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过点B、B₁、A₂．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB₁的面积最大？求出这时点P的坐标．

(3)在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB₁的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先根据旋转的性质确定点B、B1、A2三点的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式； 　　(2)求出△PBB1的面积表达式，这是一个关于P点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出△PBB1面积的最大值；值得注意的是求△PBB1面积的方法，如题图所示； 　　(3)本问引用了(2)问中三角形面积表达式的结论，利用此表达式表示出△QBB1的面积，然后解一元二次方程求得Q点的坐标． 　　解答：解：(1)∵AB⊥x轴，AB＝3，tan∠AOB＝，∴OB＝4， 　　∴B(－4，0)，B1(0，－4)，A2(3，0)． 　　∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点B、B1、A2， 　　∴， 　　解得 　　∴抛物线的解析式为：y＝x2＋x－4． 　　(2)点P是第三象限内抛物线y＝x2＋x－4上的一点， 　　如图，过点P作PC⊥x轴于点C． 　　设点P的坐标为(m，n)，则m＜0，n＜0，n＝m2＋m－4． 　　于是PC＝|n|＝－n＝－m2－m－4，OC＝|m|＝－m，BC＝OB－OC＝|－4|－|m|＝4＋m． 　　S△PBB1＝S△PBC＋S梯形PB1OC－S△OBB1 　　＝×BC×PC＋×(PC＋OB1)×OC－×OB×OB1 　　＝×(4＋m)×(－m2－m－4)＋×[(－m2－m－4)＋4]×(－m)－×4×4 　　＝－m2－m＝－(m＋2)2＋ 　　当m＝－2时，△PBB1的面积最大，这时，n＝－，即点P(－2，－)． 　　(3)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(x0，y0)，使点Q到线段BB1的距离为． 　　如答图，过点Q作QD⊥BB1于点D． 　　由(2)可知，此时△QBB1的面积可以表示为：－(x0＋2)2＋－， 　　在Rt△OBB1中，BB1＝＝4 　　∵S△QBB1＝×BB1×QD＝×4×＝2， 　　∴－(x0＋2)2＋＝2， 　　解得x0＝－1或x0＝－3 　　当x0＝－1时，y0＝－4；当x0＝－3时，y0＝－2， 　　因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是(－1，－4)或(－3，－2)． 　　点评：本题综合考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程、旋转与坐标变化、图形面积求法、勾股定理等重要知识点．第(2)问起承上启下的作用，是本题的难点与核心，其中的要点是坐标平面内图形面积的求解方法，这种方法是压轴题中常见的一种解题方法，同学们需要认真掌握．

提示：

考点：二次函数综合题．