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    猜想并证明

    如图，点C、B、E三点在一直线上，AC⊥CB，DE⊥BE，∠ABD＝，AB＝BD．请猜想AC、DE、CE之间的关系，并证明你的结论．

    答案：
    解析：

    AC＋DE＝CE，证明△ACB≌△BDE


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题．
    已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，∠CAB=90°，直线m过点O，过A、B、C三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F．
    （1）当直线m与BC平行时（如图1），请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；
    （2）当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•新乡模拟）如图，点E，F是?ABCD的对角线AC上的两点，且CE=AF．
    （1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）
    （2）请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2010•保定一模）如图，点E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D两点重合），过点E作直线MN∥DC，交AD于M，交BC于N，连接AE，作EF⊥AE于E，交直线CB于F．
    （1）如图1，当点F在线段CB上时，通过观察或测量，猜想△AEF的形状，并证明你的猜想；
    （2）如图2，当点F在线段CB的延长线上时，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
    （3）在点E从点D向点B的运动过程中，四边形AFNM的面积是否会发生变化？若发生了变化，请说明理由；若没有发生变化，请求出其面积的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+
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    ∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

    （1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
    （2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
    （3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

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