Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形；
（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）若BC的长可以变化，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由，若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．

Answer 1

分析：1、过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易证：△DPH∽△PEB?

DH

PH

=

PB

EB

，即

4

x-2

=

8-x

y

，故可求得y与x的关系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出

a

8-x

=

x-2

y

，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．

解答：解：（1）过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2

5

．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情况①：当AP=AD时，即x=2

5

．
情况②：当AD=PD时，则AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴当x为2

5

、4、5时，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴

DH

PH

=

PB

EB

，
∴

4

x-2

=

8-x

y

．
整理得：y=

1

4

（x-2）（8-x）=-

1

4

x²+

5

2

x-4．

（3）存在．
设BC=a，则由（2）得△DPH∽△PEB，
∴

a

8-x

=

x-2

y

，
∴y=

(8-x)(x-2)

a

，
当y=a时，
（8-x）（x-2）=a²
x²-10x+（16+a²）=0，
∴△=100-4（16+a²），
∵△≥0，
∴100-64-4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过C．

点评：本题利用了梯形和矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的根的判别式求解．