Question

如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．

Answer 1

分析：有两种解法：
①延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，则可证△BDF≌△CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．
②延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．

解答：证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，
在△BDF和△CDM中，

BD=CD ∠BDF=∠CDM DF=DM

∴△BDF≌△CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC；

方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，
在△ADC和△MDB中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=DA

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=∠AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质、等腰三角形的性质．其中普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，解决此题的关键是作出巧妙的辅助线：倍长中线．