Question

如图，已知B（0，-4），点P为第二象限角平分线上一动点，将射线BP绕B点逆时针旋转30゜交x轴于点Q，连PQ，在点P运动过程中，当∠BPQ=45゜时，求BQ的长．

Answer 1

分析：利用直角坐标系中的角平分线的性质设OP的方程：y=-x，利用设出P、Q两点的坐标，利用三角函数建立方程，解决问题．

解答：解：设OP的方程：y=-x （x＜0），
P（-p，p），p＞0，
Q（-q，0），q＞0，
PQ²=（p-q）²+p²，PB²=p²+（p+4）²，BQ²=q²+4²，
∠PBQ=30?，∠BPQ=45?，∠PQB=180?-（30?+45?），
sin∠PBQ=

1

2

，
sin∠BPQ=

2

2

，
sin∠PQB=sin[180?-（30?+45?）]=sin（30?+45?）=sin30?cos45?+cos30?sin45?=

2

4

（

3

+1），
由正弦定理：

PQ2

sin2∠PBQ

=

BQ2

sin2∠BPQ

=

BP2

sin2∠PQB

，
从

PQ2

sin2∠PBQ

=

BQ2

sin2∠BPQ

可得q=2p±4，
从

PQ2

sin2∠PBQ

=

BP2

sin2∠PQB

，
可得（2+

3

）PQ²=BP²，
（2+

3

）[（p-q）²+p²]=p²+（p+4）²①
（A） q=2p+4，
代入①，无解
（B）q=2p-4，
p=2（

3

+1），q=4

3

，BQ=8；
或p=2（

3

-1），q=4（

3

-2）＜0，舍去．

点评：此题考查直线y=-x的性质，勾股定理，三角函数等知识点，并且渗透分类讨论思想．