Question

（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．
①求证：△ABP≌△ACQ；
②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．
（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF'G'的位置，点M是边EF'与边FG的交点，点N在边EG'上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根据正三角形的性质知∠BAC=∠PAQ=60°，所以∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC；然后再由等边三角形的边都相等知AB=AC，AP=AQ；从而根据全等三角形的判定定理SAS来证明△ABP≌△ACQ；
（2）作辅助线“过点E作底边FG的垂线，点H为垂足”构建直角三角形，然后根据旋转的性质先证明△EFM≌△EGN（SAS）；最后求得∠ENG=∠EMF=90°、EM=12，即点E到直线GN的距离是12．
解答：解：（1）①∵三角形ABC和三角形APQ是正三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ
②如图：当点P由点B运动到点C时，点D运动路线为DD′，
∵AD=CD，AD′=D′Q′，
∴DD′=CQ′=AB=3；
∴点D运动路线的长为3．

（2）解法一：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．

在△EFG中，易得EH=12．
类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，
∵∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EGN，
∴GE是∠FGN的角平分线，
∴点E到直线FG和GN的距离相等，
∴点E到直线GN的距离是12．
解法二：
过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线
GN的垂线，点K为垂足，

在△EFG中，EH==12
同（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠EFM=∠EGN，可证明△EFH≌△EGK，
∴EH=EK．
∴点E到直线GN的距离是12，
解法三：
把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．

由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．
不失一般性，设∠EMF=90°．
类似（1）可证明△EFM≌△EGN，
∴∠ENG=∠EMF=90°，
求得EM=12，
∴点E到直线GN的距离是12．
点评：本题考查了全等三角形是判定与性质及等边三角形的性质．解答此题的关键是根据等边三角形的三边关系及三个内角的关系证明△ABP≌△ACQ和△EFM≌△EGN，难度适中．