Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）， ∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点， ∴y=a（x-1）（x+3）， 又∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴a（0-1）（0+3）=3， ∴a=-3 ∴y=-（x-1）（x+3）， 即y=-x2-2x+3， 用其他解法参照给分；
（2）∵点A（1，0），点C（0，3）， ∴OA=1，OC=3， ∵DC⊥AC，OC⊥x轴， ∴△QOC∽△COA， ∴，即 ∴OQ=9，， 又∵点Q在x轴的负半轴上， ∴Q（-9，0）， 设直线DC的解析式为：y=mx+n， 则解之得： ∴直线DC的解析式为：y=x+3， ∵点D是抛物线与直线DC的交点， ∴，解之得：，（不合题意，应舍去） ∴点D；
（3）如图，点M为直线x=-1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（-1，y），直线x=-1与x轴交于点E， ∴AE=2， ∵抛物线y=-x2-2x+3的顶点为P，对称轴为x=-1， ∴P（-1，4）， ∴PE=4，则PM=|4-y|， ∵S四边形AEPC=S四边形OEPC+S△AOC， = = =5， 又∵S四边形AEPC=S△AEP+S△ACP， S△AEP=AE×PE=×2×4=4， ∴+S△ACP=5-4=1， ∵S△MAP=2S△ACP， ∴×2×|4-y|=2×1， ∴|4-y|=2， ∴y1=2，y2=6， 故抛物线的对称轴上存在点M使S△MAP=2S△ACP， 点M（-1，2）或（-1，6） 用其他解法参照给分。