Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式； 　　(2)求得抛物线顶点P，从直线BC的斜率算起，设过点P的直线，解得直线代入抛物线解析式解得点Q； 　　(3)求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y＝2代入解得． 　　解答：解：(1)把三点代入抛物线解析式 　　， 　　即得：， 　　所以二次函数式为y＝－x2＋2x＋3； 　　(2)由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 　　则顶点P(1，4)， 　　由B，C两点坐标可知，直线BC解析式为y＝－x＋3， 　　设过点P与直线BC平行的直线为：y＝－x＋b， 　　将点P(1，4)代入，得y＝－x＋5， 　　则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q， 　　－x2＋2x＋3＝－x＋5， 　　即x2－3x＋2＝0， 　　解得x＝1或x＝2， 　　代入直线则得点(1，4)或(2，3)， 　　已知点P(1，4)，所以点Q(2，3)， 　　由对称轴及直线BC解析式可知M(1，2)，PM＝2， 　　设过P′(1，0)且与BC平行的直线为y＝－x＋c， 　　将P′代入，得y＝－x＋1， 　　联立，解得或， 　　∴Q(，)或Q(，)； 　　(3)有题意求得直线BC代入x＝1则y＝2， 　　∴M(1，2)， 　　由点M，P的坐标可知： 　　点R存在，即过点M平行于x轴的直线， 　　则代入y＝2，x2－2x－1＝0， 　　解得x＝1－(在对称轴的左侧，舍去)，x＝1＋， 　　即点R(1＋，2)． 　　点评：本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式，两直线相等，即斜率相等，两三角形面积相等，由同底等高；点M的纵坐标的长度是点P的一半，从而解得．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．

提示：

考点：二次函数综合题．