Question

如图1所示，∠EBA=∠ABC=60°，E、A、C分别是射线BE、BA、BC上的点，D是射线BA上的一点，BA＜BD，BE=BD，．
（1）猜想∠DEA与∠DCA的大小关系，并说明理由；
（2）以DC为边在△DBC的形外作等边△DCF（如图2所示），猜想DE与DC相等吗？如果相等，请说明理由；如果不等，试在图中寻找一条与DE相等的线段（BE、BD除外），并说明理由．

Answer 1

解：（1）∠DEA=∠DCA
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）
∴所以∠AEB=∠CDB
在△ABC中，∠BAC=∠CDB+∠DCA=60°
又∵∠BED=∠AEB+∠DEA=60°
∴∠AEB+∠DEA=∠CDB+∠DCA
∴∠DEA=∠DCA；

（2）不相等，DE=AF
利用“SAS”证明△CAF≌△CBD
所以AF=BD
又因为等边三角形BDE中，BD=DE，
所以DE=AF．
分析：（1）先利用“SAS”证明△ABE≌△CBD，再根据相似三角形的性质和角与角之间的关系即可得出；
（2）DE与DC不相等；DE=AF，利用“SAS”证明△CAF≌△CBD，根据相似三角形的性质和等边三角形的性质即可得出．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．