Question

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

(1)若∠1＝70°，求∠MKN的度数；

(2)△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解； 　　(2)过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK≥1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于； 　　(3)分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解． 　　解答：解：(1)∵ABCD是矩形， 　　∴AM∥DN． 　　∴∠KNM＝∠1． 　　∵∠1＝70°， 　　∴∠KNM＝∠KMN＝70°， 　　∴∠MKN＝40°． 　　(2)不能． 　　过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME＝AD＝1． 　　∵∠KNM＝∠KMN， 　　∴MK＝NK， 　　又MK≥ME， 　　∴NK≥1． 　　∴△MNK的面积＝NK·ME≥． 　　∴△MNK的面积不可能小于． 　　(3)分两种情况： 　　情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合． 　　MK＝MD＝x，则AM＝5－x． 　　由勾股定理得12＋(5－x)2＝x2， 　　解得x＝2.6． 　　∴MD＝ND＝2.6． 　　S△MNK＝S△MND＝＝1.3． 　　情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC． 　　MK＝AK＝CK＝x，则DK＝5－x． 　　同理可得MK＝NK＝2.6． 　　∵MD＝1 　　∴S△MNK＝S△MND＝＝1.3． 　　△MNK的面积最大值为1.3． 　　点评：本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．

提示：

翻折变换(折叠问题)；勾股定理；矩形的性质．