Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．

(1)求直线BC及抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；

(3)连结CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点， 　　． 　　设直线的解析式为． 　　在直线上， 　　． 　　解得． 　　直线的解析式为．　　1分 　　抛物线过点， 　　 　　解得 　　抛物线的解析式为．　　2分 　　(2)由． 　　可得． 　　，，，． 　　可得是等腰直角三角形． 　　，． 　　如图1，设抛物线对称轴与轴交于点， 　　． 　　过点作于点． 　　． 　　可得，． 　　在与中，，， 　　． 　　，． 　　解得． 　　点在抛物线的对称轴上， 　　点的坐标为或．　　5分 　　(3)解法一： 　　如图2，作点关于轴的对称点，则． 　　连结， 　　可得，． 　　由勾股定理可得，． 　　又， 　　． 　　是等腰直角三角形，， 　　． 　　． 　　． 　　即与两角和的度数为．　　7分 　　解法二： 　　如图3，连结． 　　同解法一可得，． 　　在中，，， 　　． 　　在和中， 　　，，． 　　． 　　． 　　． 　　， 　　． 　　即与两角和的度数为．　　7分 　　点评：本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3问之间层层递进，后两问集中研究角度问题．中等层次的学生能够做出第(1)问，中上层次的学生可能会作出第⑵问，但第⑵问中符合条件的点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第⑶问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题． 　　本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理 　　难度系数：第(1)问：5.5；第(2)问：3.5；第(3)问：2.5