Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；
（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过点A、D分别作BC边上的垂线，垂足分别为E、F，根据等腰梯形及直角三角形的性质求得BC=60，再由相似三角形的性质：对应边成比例来求解；
（2）在直角三角形中求得梯形的高AE=10

3

，进而求得S_△ABP，S_△ADQ，S_△PCQ，S_梯形ABCD；S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ．

解答：解：（1）过点A、D分别作BC边上的垂线，垂足分别为E、F．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∵∠D=120°，
∴∠BAE=120°-90=30°；
又∵AB=CD=20cm，
∴BE=CF=10cm，
∵AD=40cm，
∴EF=AD=40cm，
∴BC=40+10+10=60（cm），
∵△QCP∽△ABP，
∴

AB

CQ

=

BP

PC

，即

20

t

=

60-2t

2t

，解得t=10，
∴当t为10时，△CPQ与△ABP相似．

（2）由（1）知∠BAE=30°，
∵AB=20，
∴AE=10

3

；
∵S_△ABP=

1

2

（60-2t）×10

3

，S_△ADQ=

1

2

×40×（10

3

-

3

2

t），S_△PCQ=

1

2

×2t×

3

2

t，
S_梯形ABCD=

1

2

×（40+60）×10

3

=500

3

，
∴S_△APQ=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_△PCQ=-

3

2

t²+20

3

t，即S=-

3

2

t²+20

3

t，
∵当Q到达点D，点P也随之停止运动，
∴

0＜t＜20 0＜2t＜60

解得0＜t＜20，即S=-

3

2

t²+20

3

t（0＜t＜20）．

点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，矩形的判定及性质，以及二次函数的综合应用，要注意的是（2）中，要根据t的运动范围来求其取值范围．