Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展平后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，连接GF，下列结论：
①AE=AG；②tan∠AGE=2；③S_△DOG=S_{四边形EFOG}；④四边形ABFG为等腰梯形；⑤BE=2OG．
其中一定正确的是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：求出∠AEG、∠AGE的度数即可判断①；
设EF=x，则AE=x，BE=

2

x，将计算出tan∠AEG即可判断②；
易得△DOG∽△DFE，求出OG的长度，利用面积比等于相似比平方可判断③；
根据折叠的性质及平行四边形的判定可判断④；
根据前面所求的线段的长度表达式可判断⑤．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠ADB=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADE=∠FDE=

1

2

∠ADB=22.5°，
则∠AEG=90°-∠ADE=67.5°，∠AGE=∠ADE+∠DAC=22.5°+45°=67.5°，
∵∠AGE=∠AEG=67.5°，
∴AE=AG，即①正确；
设EF=x，则AE=x，BE=EF=

2

x，AB=AE+BE=（

2

+1）x，
tan∠AGE=tan∠AEG=

AD

AE

=

AB

AE

=

2

+1．即②错误；
∵AB=（

2

+1）x，
∴AO=（1+

2

2

）x，OG=AO-AG=AO-AE=

2

2

x，
易得△DOG∽△DFE，
∵

S△DOG

SDFE

=（

OG

EF

²=

1

2

，
∴可得S_△DOG=S_{四边形EFOG}，即③正确；
∵∠AGE=∠FGE（折叠的性质），∠AGE=∠AEG（①已证），
∴∠FGE=∠AEG，
∴GF∥AB，
又∵BF=EF（等腰直角三角形的性质）=AE=AG，
∴四边形ABFG为等腰梯形，即④正确；
由上面的解答可得：AE=

2

x，OG=

2

2

x，
故可得BE=2OG，即⑤正确．
综上可得：①③④⑤正确，共4个．
故答案为：①③④⑤．

点评：本题考查了翻折变换的知识，综合考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定及正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点，将所学知识融会贯通，难度较大．