Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线，B为切点，OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E．

(1)求证：∠OPB＝∠AEC；

(2)若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB是⊙O的直径，PB为⊙O的切线， 　　∴PB⊥AB． 　　∴∠OPB＋∠POB＝90°．(1分) 　　∵OP⊥BC， 　　∴∠ABC＋∠POB＝90°． 　　∴∠ABC＝∠OPB．(2分) 　　又∠AEC＝∠ABC， 　　∴∠OPB＝∠AEC．(3分) 　　(2)四边形AOEC是菱形． 　　法一：∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， 　　∴＝．(4分) 　　∵C为半圆的三等分点， 　　∴＝＝． 　　∴∠ABC＝∠ECB．(5分) 　　∴AB∥CE．(6分) 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴AC⊥BC．(7分) 　　又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， 　　∴AC∥OE．(8分) 　　∴四边形AOEC是平行四边形．(9分) 　　又OA＝OE， 　　∴四边形AOEC是菱形．(10分) 　　法二：连接OC． 　　∵C为半圆的三等分点， 　　∴∠AOC＝60°． 　　∴∠ABC＝∠AEC＝∠OPB＝30°． 　　由(1)，得∠POB＝90°－∠OPB＝60°． 　　∴∠ECB＝30°． 　　∴∠ABC＝∠ECB＝30°． 　　∴AB∥CE． 　　∵AB是⊙O的直径， 　　∴AC⊥BC． 　　又OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， 　　∴AC∥OE． 　　∴四边形AOEC是平行四边形． 　　又OA＝OE， 　　∴四边形AOEC是菱形． 　　法三：连接OC，则OC＝OA＝OE． 　　∵C为半圆的三等分点， 　　∴∠AOC＝60°． 　　∴△AOC为等边三角形． 　　∴AC＝AO． 　　∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E， 　　∴＝． 　　∵C为半圆的三等分点， 　　∴＝＝． 　　∴AC＝CE． 　　∴AC＝CE＝OA＝OE． 　　∴四边形AOEC是菱形．