Question

如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4 km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．

(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN²，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明； 　　(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答； 　　(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题． 　　解答：解：(1)因为A坐标为(1，)， 　　所以OA＝2，∠AOB＝60°． 　　因为OM＝2－4t，ON＝6－4t， 　　当＝时，解得t＝0， 　　即在甲、乙两人到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行； 　　(2)因为甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝＝，所以甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形， 　　①当t＜时，如果△OMN∽△OAB，则有＝，解得t＝2＞，所以，△OMN不可能相似△OBA； 　　②当＜t＜时，∠MON＞∠AOB，显然△OMN不相似△OBA； 　　③当t＞时，＝，解得t＝2＞，所以当t＝2时，△OMN∽△OBA； 　　(3)①当t≤时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 　　在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°， 　　所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)， 　　OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， 　　所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t， 　　所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28 　　②当＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 　　在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t， 　　所以s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28 　　当t＞时，同理可得s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28， 　　综上所述，s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28． 　　因为s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12， 　　所以当t＝1时，s有最小值为12，所以甲、乙两人距离最小值为2km． 　　点评：此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点，难度较大．

提示：

相似三角形的性质；坐标与图形性质；二次函数的最值；勾股定理；解直角三角形．