Question

如图，△ABC中，∠B=30°，∠ACB=120°，D是BC上一点，∠ADC=45°，BD=8

3

，求DC的长．

Answer 1

分析：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，构造直角三角形利用解直角三角形的知识求DC的长即可．

解答：解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，（1分）
∵∠B=30°，
∴tan30°=

AE

BE

=

3

3

=

1

3

．（1分）
设AE=x，则BE=

3

x．（1分）
∵∠ACB=120°，∴∠ACE=60°，
∴tan60°=

AE

CE

=

3

，∴CE=

3

3

x．（1分）
∵BD=8

3

，∴DE=BE-BD=

3

x-8

3

．（1分）
∵∠ADC=45°，∴AE=DE．（1分）
∴（

3

-1）x=8

3

，∴x=12+4

3

．（1分）
∴CE=

3

3

x=4

3

+4，∴BE=

3

x=12

3

+12，
∴CD=BE-BD-CE=12

3

+12-8

3

-4

3

-4=8．（3分）

点评：本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形．