Question

如图所示，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O，C，D，B为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
（3）在抛物线上求一点P，使△ABP是以AB为直角边的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线的顶点为A（2，1），设抛物线顶点式，把点O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依题意得CD∥OB，CD=OB=4，又对称轴x=2，故D点横坐标x=6，代入抛物线解析式可求D点纵坐标，根据对称轴可求满足条件的点D′；
（3）当∠A为直角顶点时，设P点的坐标为（a，b），利用直角三角形三边关系得出a，b的值，再利用当∠B为直角顶点时，求出P点坐标即可．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+1，
将点B（4，0）的坐标代入得：
a=-

1

4

．
所以二次函数的解析式为y=-

1

4

(x-2)2+1；

（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，
由0=-

1

4

（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6．
将x=6代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（-2，-3），
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）
综上所述：D点的坐标分别为（2，1），（-2，-3）或（6，-3）；

（3）如图2，当∠A为直角顶点时，设P点的坐标为（a，b），
则

(a-2)2+(b-1)2+(4-2)2+(0-1)2=(a-4)2+b2 b=- 1 4 (a-2)2+1

解得

a=-6 b=-15

或

a=2 b=1

(舍去)
所以P（-6，-15）．
同理可得当∠B为直角顶点时，P（-8，-24）．

点评：本题考查了二次函数解析式的求法，利用抛物线的性质寻找平行四边形等问题，需要根据抛物线的对称性，形数结合，解答问题．