Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，CE⊥AD，E为垂足，CE的延长线交AB于点F．求证：AC²=AB·AF．

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：连结BD、CＤ．如图． ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝∠ABD＝90°． ∵CE⊥AD于E，∴Rt△ACE∽Rt△ACＤ． ∴，即AC２=AE·AＤ． 在Rt△AEF和Rt△ABD中，∵∠ABD＝∠AEF＝90°，∠BAD＝∠BAD， ∴△AEF∽△ABD，∴，即AE·AD＝AF·AB．  ∴AC２＝AF·AB． 证法二：如图7—64，延长CF交⊙O于G，连结AG、BG． ∵AD是⊙O的直径，CG⊥AD，∴=． ∴AC＝AG，∠AGE＝∠GBA． 又∠FAG＝∠FAG． ∴△AGF∽△ABG． ∴，即AG２＝AF·AB，∴AC２＝AF·AB． 证法三：如图7—65，延长CF交⊙O于G． ∵AD是⊙O的直径，且CG⊥AD， ∴=． ∴∠B＝∠FCA． 又 ∠BAC＝∠FAC． ∴△ACF∽△ABC． ∴，即AC２＝AF·AB．