Question

9．如图所示，平行四边形OABC的边CO落在x轴上，且A（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），C（2$\sqrt{3}$，0）．
（1）求点B的坐标及求平行四边形OABC的面积；
（2）将平行四边形OABC向左平移$\sqrt{3}$个单位长度得到四边形O₁A₁B₁C₁，请直接写出A₁O的长$\sqrt{3}$；
（3）点P为y轴上一点，连接PC，使得△POC的面积是平行四边形OABC面积的$\sqrt{3}$倍，请直接写出P点坐标（0，±6）．．

Answer 1

分析 （1）首先过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由平行四边形OABC的边CO落在x轴上，易证得Rt△AOD≌Rt△BCE（HL），继而可得AB=OC=2$\sqrt{3}$，BE=AD=$\sqrt{3}$，OD=CE=$\sqrt{3}$，则可求得答案；
（2）由将平行四边形OABC向左平移$\sqrt{3}$个单位长度得到四边形O₁A₁B₁C₁，即可求得点A₁的坐标，继而求得A₁O的长；
（3）首先设P的坐标为（0，a），由使得△POC的面积是平行四边形OABC面积的$\sqrt{3}$倍，即可求得答案．

解答 解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵平行四边形OABC的边CO落在x轴上，
∴OA=BC，AD=BE，AB=OC，
在Rt△AOD和Rt△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=CB}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOD≌Rt△BCE（HL），
∴BE=AD，
∵A（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），C（2$\sqrt{3}$，0），
∴AB=OC=2$\sqrt{3}$，BE=AD=$\sqrt{3}$，OD=CE=$\sqrt{3}$，
∴OE=OC+CE=3$\sqrt{3}$，
∴B（3$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴四边形OABC的面积是：2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=6；

（2）∵将平行四边形OABC向左平移$\sqrt{3}$个单位长度得到四边形O₁A₁B₁C₁，
∴A₁的坐标为：（0，$\sqrt{3}$），
∴A₁O=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$；

（3）设P的坐标为（0，a），
则S_△POC=$\frac{1}{2}$•|a|•OC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×|a|=$\sqrt{3}$|a|，
∵△POC的面积是平行四边形OABC面积的$\sqrt{3}$倍，
∴$\sqrt{3}$|a|=6$\sqrt{3}$，
解得：a=±6，
∴P（0，±6）．
故答案为：（0，±6）．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及平移的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．