Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）。

（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

解：（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），　　　　　 ∴OA=AB=BC=CO=4 过点A作AD⊥OC于D ∵∠AOC=60°， ∴OD=2，AD=2 ∴A（2，2），B（6，2）。
（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况： ①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交（如图①） ∵MN⊥OC， ∴ON=t ∴MN=ONtan60°=t ∴。
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交（如图②） S=ON·MN=×t×2=t。
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交（如图③） 设直线l与x轴交于点H ∵MN=2-（t-4）=6-t ∴ 。
（3）由（2）知，当0≤t≤2时， 当2＜t≤4时， 当4＜t≤6时，配方得 ∴当t=3时，函数的最大值是 但t=3不在4＜t≤6内， ∴在4＜t≤6内，函数的最大值不是 而当t＞3时，函数随t的增大而减小，　　　　　 ∴当4＜t≤6时，S＜4　　　　　 综上所述，当t=4秒时，。