Question

19、若α、β是两个不相等的实数，且满足α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，那么代数式α²+2β²-2β的值是

7

．

Answer 1

分析：由题意，可知α、β是一元二次方程x²-2x-1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得出α+β=2①，再将等式α²-2α-1=0与β²-2β-1=0变形，分别用含α、β的一次项表示其二次项，得到α²=2α+1②，β²=2β+1 ③，把①②③式分别代入，即可求出代数式α²+2β²-2β的值．

解答：解：∵α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，且α、β是两个不相等的实数，
∴α、β是方程x²-2x-1=0的两个不等实根，
∴α+β=2 ①；
又∵α²-2α-1=0，
∴α²=2α+1 ②，
∵β²-2β-1=0，
∴β²=2β+1 ③，
把①②③分别代入，得
α²+2β²-2β=（2α+1）+2（2β+1）-2β=2（α+β）+3=2×2+3=7．
故答案为7．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及求代数式的值的方法，难度中等．关键是能够通过观察，得出α、β是方程x²-2x-1=0的两个不等实根．