Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线，所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与x轴交于点C，顶点为D。

（1）写出h，k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为D（-1，-4）， ∴h=-1，k=-4； （2）由（1）得， 当y=0时，，解之，得， ∴A（-3，0），B（1，0）， 又当x=0时，， ∴C点坐标为（0，-3） 又抛物线顶点坐标D（-1，-4）， 作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E，DF⊥轴于点F，易知 在Rt△AED中，AD2=22+42=20， 在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， 在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD是直角三角形； （3）存在， 作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点； 由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°，AC=， 由△AOM∽△ABC，得，即， 过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=， OG=AO-AG=3-， 又点M在第三象限，所以M（-，-）。