Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D。

（1）求b，c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；
②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）
∵二次函数的图像经过点A（-1，0），B（4，5）
∴
解得：b=-2，c=-3；
（2）∵直线AB经过点A（-1，0），B（4，5）
∴直线AB的解析式为：y=x+1
∵二次函数
∴设点E（t，t+1），则F（t，）
∴EF=
=
∴当时，EF的最大值为
∴点E的坐标为（，）。
（3）①顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD
可求出点F的坐标（，），
点D的坐标为（1，-4）
S_{四边形EBFD}=S_△BEF+S_△DEF
=
=；
②（i）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，）
则有：
解得：，
∴， ；
（ii）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有：
解得：，（与点F重合，舍去）
∴
综上所述：所有点P的坐标：，，
能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形。