Question

(1)已知一元二次方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的两根为x₁、x₂；求证：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．

(2)已知抛物线y＝x²＋px＋q与x轴交于A、B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可； 　　(2)把点(－1，－1)代入抛物线的解析式，再由d＝|x1－x2|可知d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2，再由(1)中x1＋x2＝－p，x1·x2＝q即可得出结论． 　　解答：证明：(1)∵a＝1，b＝p，c＝q 　　∴Δ＝p2－4q 　　∴x＝ 　　即x1＝，x2＝ 　　∴x1＋x2＝＋＝－p， 　　x1·x2＝·＝q 　　(2)把代入(－1，－1)得p－q＝2，q＝p－2 　　设抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2，0) 　　∵d＝|x1－x2|， 　　∴d2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝p2－4q＝p2－4p＋8＝(p－2)2＋4 　　当p＝2时，d2的最小值是4． 　　点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点及根与系数的关系，熟知x1，x2是方程x2＋px＋q＝0的两根时，x1＋x2＝－p，x1x2＝q是解答此题的关键．

提示：

考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．